七、理发师给不给自己刮胡子
——罗素悖论
伯特兰·罗素是英国著名的哲学家、数学家、散文作家和社会改良主义者，1872年5月出生于威尔士的特雷克，祖父约翰·罗素勋爵在维多利亚女皇时代曾三次出任首相。罗素4岁前已父母双亡，他是在祖母和家庭教师的抚养下长大的。1890年进入剑桥大学“三一学院”学习，毕业后曾在三一学院任哲学讲师和兼职研究员。1920—1921年罗素曾来我国讲学并任北京大学客座教授。他也曾任美国哈佛大学客座教授，偶尔也在英美其他大学作短期讲学。罗素曾是亚里士多德协会会员，英皇家学会会员和英国科学院名誉会员。
罗素一生颇具传奇色彩，他曾经四次结婚，三次离婚，两次因政治原因被监禁。一次是1918年因犯对美军的诽谤罪被监禁6个月，另一次是1961年在89岁时因煽动民众反对政府，支持核裁军运动，在医院被监禁1星期。
罗素知识渊博，在数学、逻辑学、哲学、教育学、社会学等领域均有建树。他也是一位多产的作家，一生写有69本著作和大量的文章，1950年曾获诺贝尔文学奖。
1901年6月，罗素考虑了康托尔悖论，通过分析其结构后发现了罗素悖论。构成罗素悖论所使用的也是康托尔集合论的最基本概念：集合、属于、元素。元素属于集合，一个集合也可以成为另一集合的元素。
罗素说，集合可以分为两类，一类是集合本身也是自己的元素，例如“概念的集合”，它包含了所有概念为其元素，而“概念的集合”本身也是一个概念，因此也是它自己的元素，也就是说属于自己。又如“汉字符号组的集合”是由汉字组成的符号组，因此这一集合本身也是自己的元素。当然，“一切集合所组成的集合”也是自身的元素，因为它也是一个集合，这种集合罗素称为“非常集”。非常集并不是很多，最常见的还是第二类，即本身不是自己元素的集合，罗素称之为“平常集”。例如“兔子的集合”，这一集合本身是一概念，而不是一只兔子，因而它不是本身的元素。“英国首相的集合”则包含撒切尔、梅杰等人作为其元素，而这一集合本身却不是一个首相。此集合也是“平常集”。
根据集合的特点，“兔子的集合”、“英国首相的集合”等等这些平常集也可以组成一个集合，即“所有不属于自身的集合的集合”。那么，现在就有一个问题：这一集合是平常集还是非常集？“所有不属于自身的集合的集合”属于自身还是不属于自身？
如果它属于自身，那么，它就是非常集，也就不是“不属于自身的集合”，因此，也就不属于自身；如果它不属于自身，那么，它就是平常集，也就恰恰是自身的元素，即属于自身。简言之，如果这个集合属于自身，那么就不属于自身；而如果不属于自身，那么就必须属于自身。怪圈！
这一悖论简单明了，而且是集合论的基本概念引申出来的。这时，数学王国的臣民们开始惶惶不安起来，因为他们一贯追求严密性，而一旦发现他们自称绝对严密的数学基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想象他们是多么震惊，多么心慌意乱！一时间，数学王国一片混乱，第三次数学危机到来了。
德国数学家弗雷格花了25年的时间写成了《算术的基本法则》，正当第二卷要付印的时候，他收到了罗素的一封信，罗素在信中把这一悖论告诉了他，弗雷格就在著作的末尾加了这样的附记：“一个科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之际，它的基础突然垮掉了。当这部著作只等付印的时候，罗素先生的一封信就使我处于这种境地。”数学家戴德金原来准备把《连续性及无理数》第三版付印，这时也把稿件抽了回来。他觉得由于罗素悖论，整个数学的基础崩塌了。有的数学家甚至宣布他以前的数学著作全部是“废话”。
为了有助于人们对罗素悖论的理解，1918年罗素又用“理发师悖论”进行了通俗的解释。
西班牙的塞维利亚村只有一个理发师，自夸无人可比。他给自己的小店立了一条店规：“我给且只给村里不给自己刮胡子的人刮胡子。”他把此店规用一个牌子写出来，并把它挂在小店的墙上。小店开业后，顾客盈门，理发师当然喜不自胜。顾客们只管刮胡子，对其店规也都没大在意。然而有一天，理发师自己感到迷惑了：谁给他自己刮胡子呢？
如果他自己刮胡子，那么他就属于自己刮胡子的那类人，但是他的招牌说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己来刮。
如果他不给自己刮胡子，而由另外一个人给他刮，那么，他就属于“不给自己刮胡子”的那类村民，但是，他的招牌却明明说，这类村民的胡子应该由他给刮。因此，其他人不给他刮胡子，他的胡子只能自己刮。
属于“自己刮胡子”的则属于“自己不刮胡子”的；而属于“自己不刮胡子”的，则又属于“自己刮胡子”的。不刮，该刮；刮，不该刮……可怜的理发师陷入了神秘的怪圈而不能自拔了。
排中律说，一个元素要么属于某集合，要么不属于。而这里却说属于不行，不属于也不行，总是矛盾的，怎么办呢？
、有人说，干脆理发师也不要讲卫生了，他的胡子就让它长着永远不刮算了。但这也行不通，因为这样的话他就又属于自己不刮胡子的那类村民了，按规定仍需自己刮。理发师说：“我就是不刮，你能拿我什么办法？”这当然可以，但他的店规就不能执行了。那么，请别村的理发师替他刮呢？也不行，这情形同上是一样的。有人说，给这位理发师施行现代手术，消除他脸上的毛囊，不让他长胡子，但这就近乎抬杠了。
西方的一些逻辑学家则采用了康托尔的，也是过去人们常使用的方法——反证法。“矛盾即荒谬。”既然由假设导致了“既要自己刮胡子又不能自己刮胡子”的矛盾，因此，假设必然是不成立的，也就是说，“给且只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，这种塞维利亚理发师是不存在的。塞维利亚的理发师不是塞维利亚男人，他可能是塞维利亚的女人或孩子，或者是其他地方来这里谋生的男人。如果他是塞维利亚男人，他不能不折不扣地实行自己的规定，世界上总会有许多不一致的政令、法律和制度等。因此，这里并没有悖论，困难只是表面的。
但是，这些解释完全误解了罗素的意思，他只不过想用通俗的方式说明罗素悖论。因此，塞维利亚村的这位理发师不但不是女人和孩子，而且还是个不断长胡子从而必须经常刮的男人。为了使人信服，罗素指出他的悖论还可以用逻辑的术语表示出来。
形容词可以分为两类：一类是这种形容词所表示的性质可以适用于形容词自身，比如“黑的”这个形容词本身就是黑的，所以它就适用自己。“四个字的”这个词本身也是四个字的，因此它也可以用来形容自身。又如“用汉语表示的”，既可以用来形容“一目了然”、“至高无上”等这些词，同时也可以用来形容自己，这种形容词称为“自状的”。而另一类形容词所表示的性质则不能形容自身，即它不具有自身所代表的性质，这种形容词称为“非自状的”。例如，“英文的”本身是汉语的，而不是英文的，它不能形容自己。“无意义的”自身是有意义，它并不适用于自己，所以也是非自状的。
但是，“非自状的”本身也是一形容词，那么，它是属于自状的一类，还是属于非自状的一类呢？
如果说，“非自状的”这一形容词是自状的，也就是说，它所表示的性质适用于自身，而它所表示的性质就是非自状的，因此，“非自状的”是非自状的。
如果说，“非自状的”这一形容词是非自状的，就是说，它所表示的性质可以适用于自身，据定义，它又是自状的。
自状就是非自状的，非自状的就是自状的，循环不已。
这一悖论是由格雷林提出的，故称“格雷林悖论”。
如果嫌“自状的”、“非自状的”不太清楚，你还可以换成其他的说法，比如“符合自己的”、“不符合自己的”。现在句，“不符合自己的”符合不符合自己？如果符合自己，那么正好说明它是不符合自己的，而如果不符合自己，则又是符合自己的。
理发师悖论中的理发师可以说不存在，或者说他的店规是不能实现的，但形容词总有能不能适用于自己的问题，而非自状的”作为一形容词也有是否适用于本身的问题。任何东西总有符合不符合自己的问题，而对“不符合自己的”也就可以问是否符合自己。“非自状的”、“不符合自己的”这些形容词显然存在，看来，悖论是不可避免的了。
八、重温旧梦
——悖论的解决
据《圣经》上说，人类的始祖亚当和夏娃因偷吃禁果被逐出伊甸园，于是他们在凡间生儿育女，逐渐繁衍起来。后来他们的后代发现了一片广袤的原野，决定住下来，准备在那里建一座城，城里建一座塔，塔顶通天。大家此呼彼应地说着话，热火朝天地干起来，做坯的做坯，烧砖的烧砖，和泥的和泥，运料的运料，建塔的建塔，那塔直入云霄。这件事惊动了上帝，耶和华亲临现场，看到平地上、塔顶上人们川流不息地传运着砖料和灰泥，从下往上层层传递，有条不紊，越砌越高。
耶和华对天使说：“看哪！他们如此协调一致，如今建塔，往后做起别的事来，就没有不成的了。看来得使他们语言彼此不同”于是，他就让建塔的人们说出各种各样的语言，每个人说话只有身边的几个人懂得，稍远一点就听不懂了，塔顶上的人向下边喊话，震破了嗓子下边的人也不知他们到底要什么，打手势也不管用，因为缺乏统一的规定。由于语言不通，停工待料，人们的心随之逐渐涣散，那座塔也就半途而废了。
耶和华把众人分散到各地，遍布天涯海角，从此世间便产生了成百上千种语言，各种语言中又有各种方言。
半途而废的原因是语言的变乱，“变乱”在希伯莱语中读作“巴比伦”，因此人们就把这座塔称为“巴比伦塔”。
经过2000多年的努力，20世纪初人们逐渐构造起了数学的庞大体系。在这个体系中，每个结果都依赖于以前已经取得的成果，这非常像一个层层叠叠的巴比伦塔式的建筑物。在这个建筑物中，当时主要有算术、代数、几何、数学分析等几大阶层。第一次数学危机使自然数的尊崇地位受到挑战，人们开始认识到无理数的意义，同时也意识到直觉和经验不一定靠得住，从而导致古典逻辑和欧氏公理几何学的诞生。随着第二次数学危机的解决，微积分（数学分析的一部分）建立在极限理论的基础上。而要理解极限的性质，就必须对数有明确的概念。这里的数不仅指有理数，而且还包括无理数，这两种数构成了实数的集合，因此当务之急是建立严格的实数理论。康托尔通过一定的有理数序列定义实数，而戴德金则利用有理数集合的分割来定义实数，就是说他们都依赖于有理数的集合概念。这样，实数理论的无矛盾性就归结为有理数论进而归结成自然数论的无矛盾性了。
自古以来，大家都认为自然数的算术是天经地义的。不过数学家们又把它进一步归结为逻辑与集合论，也就是用逻辑和集合论推出自然数，这样，逻辑与集合论成为整个数学大厦的基础。在这个建筑物的构架中，如果有一个小框架电现了一点裂缝，并不会使整个大楼倒塌，但是如果它的基石崩溃了，你可以想象会是什么样的结果！
从历史的发展来看，罗素悖论的发现对人们的震动是巨大的。因为这种威胁不仅限于集合论，而是涉及整个数学，甚至还包括逻辑。因为只需稍作变动，罗素悖论就可以在纯逻辑的形式下得到构造，如上述的格雷林悖论。
那么，为什么2000多年来的悖论对逻辑、数学没有产生根本性的威胁，而现在却像爆发了一场大地震，使许多人大惊失色、惊愕得说不出话来呢？这是因为过去的悖论或依赖于某些具体的事实，或者主观认识上的错误。例如，“说谎者悖论”要依赖于说话的人为克里特岛人。人们可以说悖论的出现只是表明所假定的事实不能出现，不过是一幻想，也可以说这样的话毫无意义。“希帕索斯悖论”的出现，是由于毕达哥拉斯学派坚持“一切事物和现象都可以归结为整数或整数之比”的信条造成的，由于人们未能认识这一信条的相对性（即在一定范围内适用），
构成了直接的矛盾，形成悖论。同样，“伽利略悖论”也是如此。由于正整数与正整数的平方数（前者的部分）之间可以建立一一对立关系：
l ，2 ，3 ，4 ，……
l ，4 ，9 ，16 ，……
因此，整体（自然数集）和部分（平方数集）在数量上是相等的。但由于人们总认为“整体大于部分”，殊不知，这只能适用于有穷量，而不能适用于无穷量，因此造成悖论。显然这也是由于主观认识上的错误造成的。
那么，“贝克莱悖论”又是怎么造成的呢？无穷小量在本质上是辩证的，它是零与非零的统一，也就是说它既是零又是非零。所谓“无穷小量是零”是指它的运动变化的终点是零，而所谓“无穷小量是非零”是指它趋向于零。由于数学是以形式逻辑为基础的，它就要遵循不矛盾律，要求对象具有明确性和一义性，也就是说必须明确无穷小量究竟是零还是非零（不能断言既是零又是非零）。而在实际应用中是这样解决的：人们先假设无穷小量不等于零，然后再规定它为零，这种方法实质上是通过把对立环节割裂开进行把握。但对立双方仍然存在于无穷小量本身，当它们被重新联结在一起时，悖论就不可避免地出现了。因此，“无穷小量具有一义性”这种错误的认识是造成“贝克莱悖论”的原因。
这种由于主观认识上错误而造成的悖论，其特点就是在它们的构造过程中包含有某个或某些具有直接错误的前提，既如此，悖论就是一种应当避免，而且也能被彻底排除的主观错误。
“矛盾即假”，客观世界是不存在矛盾的，矛盾只在人的主观认识中，这是人们的普遍观念，数学和逻辑是严格性和真理性的典范，因此当其中出现悖论时人们自然会想到：一定是我们主观上出什么差错了。找出悖论中错误的前提，并加以改正，悖论就能得以避免。无理数理论的建立使人们否定了“一切事物和现象都可归结为整数或整数之比”的错误信条，“希帕索斯悖论”得以克服；以实数理论为基础的极限理论的产生则否定了“无穷小量要么是零要么是非零”的错误观念，使“贝克莱悖论”不再出现。
而罗素悖论却不同，它使用了集合论的最基本概念：集合、属于、元素。根据人们古老的信念，既然出现了悖论，那只能说明集合论的基本前提是错误的。但人们在这些前提中却没有发现以往任何明显不正确之处，这样，在对此悖论的解决中也就出现了种种不同的方法。而且，在解决罗素悖论的种种努力中，人们又进一步暴露出在许多最基本的数学概念上的严重分歧，如到底什么是集合，有没有实无穷等等，这些分歧又增加了人们关于数学不可靠性的感觉，从而也就更增强了“危机”的气氛。一向是平和宁静、绝想“安居乐业”的数学王国顿时众心浮动，群情沮丧。正如数学家克莱因所说：“作为逻辑结构的数学已处于一种悲哀的境地……数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时光。”
但是在悖论面前，人们对所处的境况是不能长期忍受下去的，因为如希尔伯特所指出的，数学是可靠性和真理性的典范，在这里，如果每个人所学的、教的和应用的那些概念和推理方法导致了不合理的结果，那么数学思考就会失灵，人们又能到哪里去寻找可靠性和真理性呢？因此在惊愕和沮丧之余，数学家们和哲学家们并没有沉沦，而是采取种种措施去排除悖论这个怪物，从而为数学大厦建立更稳固的基础。
要解除悖论，就要搞清悖论是如何形成的，以罗素悖论为例，它的构造过程如下：
（1）构成集合 S＝｛A｜A不属于A｝，也就是“不以自身为元素的集合的集合”；
（2）考虑“S是否属于S”；
（3）由排中律，这时必然有S属于S或S不属于S，但无论S属于S，还是S不属于S，总会得出矛盾，因此，矛盾不可避免。
以上述事实进行分析可以看出，这里事实上包含了以下前提：
Ⅰ、对任意的A来说，“A不属于 A”总是有意义的命题。
Ⅱ、对任何性质来说，如果对所有的对象都有意义，那么总可以构造出相应的集合。例如“红色的”为一性质，所有具有这一性质的对象就构成一个集合。因此，集合就是把我们感兴趣的，想加以研究的对象集中在一起组成的整体。感兴趣可以是任何的东西，树木、房子、数字、猫、狗、猪等等。如果对“高大”感兴趣，就可以把我们班所有高大的同学组成一个集合。想研究“食草性”，就可以把所有食草动物组成一个集合。当然，想研究“不以自身为元素的集合”，也就可以把它也构成一个集合（S）。
Ⅲ、对所构造的 S也可考虑“S是否属于 S”的问题。
Ⅳ、排中律在集合论总是有效的，即一元素或者属于或者不属于某个集合。
Ⅴ、在集合论中不允许任何矛盾出现，即不矛盾律是有效的。
因此，从技术上讲，任何方法都是通过否定其中一个或一个以上的前提来排除悖论的。
